복잡한 매듭, 그림을 통해 수학으로 증명한다!

수학적 사고로 푸는 그림 속 매듭과 고리

‘수학’이라고 하면 흔히 복잡한 계산을 떠올리기 쉽지만, 이 책이 다루는 매듭 이론은 다르다. 매듭 이론은 숫자 대신 매듭과 고리를 수학적으로 연구하는 위상수학의 한 분야이며, 수식 없이 그림으로만 채워 탐구하는 다소 낯설지만 매력적인 세계이다.

이 책은 복잡한 매듭을 그림을 통해 쉽게 풀어내, 매듭 이론을 처음 접하는 사람도 부담 없이 즐길 수 있도록 구성했다. 풍부한 삽화와 예시, 연습문제를 통해 일상에서 흔히 볼 수 있는 다양한 매듭부터 고리의 불변량과 풀림수, 라이데마이스터 변형까지 차근차근 따라가며 이해할 수 있도록 구성하였다. 또한 복잡하게 얽힌 끈을 하나씩 풀어가듯 난이도를 서서히 높여 가며 끝까지 학습할 수 있게 하여, 3채색 가능성, 간이 고리수, 불변량의 개념처럼 전문적인 내용도 시각적 비유와 연습문제를 통해 자연스럽게 받아들일 수 있을 것이다.

매듭을 통해 수학을 보고, 그림을 통해 수학을 생각하는 경험. 이 책과 함께라면, 수학이 단순한 계산의 영역을 넘어 창의적이고 직관적인 사고의 세계임을 새롭게 발견하게 될 것이다.

머리말

제1장 매듭

1 일상에서의 매듭

2 묶여있다는 것은 어떤 상태인가?

3 매듭법을 설명한다

제2장 매듭 이론으로, 무엇을?

1 매듭과 고리

2 같은 매듭 · 다른 매듭

제3장 고리를 살펴보기 위해서는

1 종이에 고리를 그려보자

2 고리의 다이어그램 - 기약 다이어그램

3 매듭 이론의 목표

제4장 다양한 고리

1 일상에서의 매듭으로부터 얻어진 매듭

- 옭 매듭 / 마디 매듭 / 8자 매듭 / 부둣가 매듭 / 날개 매듭 / 맞매듭(스퀘어 매듭) / 외과의사 매듭 / 세로 매듭(그래니 매듭) / 솔로몬의 매듭 / 보로메오 고리

2 수학적인 의미를 가진 고리

- 고리 계열 / 분리 가능한 고리 / 거울에 비친 고리 / 합성 매듭 / 프라임 매듭

제5장 그래프와 매듭

1 평면 그래프

2 오일러 공식 - 오일러 공식의 확장 증명

3 매듭의 다이어그램과 평면 그래프

제6장 그려진 고리를 변형하자Ⅰ

1 같은 다이어그램 · 다른 다이어그램

- ‘같다’가 무슨 말인가? / ‘같은’ 평면 도형

2 평면의 동위 변형 - 같은 도형이란?

3 고리 다이어그램의 동위 변형

4 같은 고리를 나타내는 다른 다이어그램

- 자명 다이어그램 / 교대 매듭

제7장 고리의 표를 만들자

1 고리의 복잡도 기준

2 매듭을 나열하기 위해서는

- 매듭의 최소 교점수 / 최소 교점수를 결정하기 위해서는 / 교점의 수가 1 또는 2인 다이어그램에서 얻어지는 매듭은?

3 교대 다이어그램과 최소 교점수

4 매듭표의 작성

제8장 그려진 고리를 변형하자Ⅱ

1 평면의 동위 변형으로 이동하지 않는 같은 고리의 다이어그램

2 라이데마이스터 변형이란?

3 라이데마이스터 변형을 사용해 보자

- 교점을 늘리는 라이데마이스터 변형만 가능한 다이어그램

제9장 고리의 지문

1 불변량이란?

- 사람의 불변량 / 평면 도형의 불변량

2 고리와 다이어그램의 불변량

- 고리의 불변량 / 고리 다이어그램의 불변량

제10장 그 고리, 정말로 얽혀 있어?

1 간이 고리수란?

2 간이 고리수를 구해보자

3 계산의 예와 이를 통해 알 수 있는 것

제11장 매듭이 정말로 묶여 있을까?

1 고리의 3채색 가능성이란?

- 고리 다이어그램의 3채색

2 3채색 가능 여부를 알아보자

- 호프 고리의 3채색 가능성 / 8자 매듭의 3채색 가능성 / 3채색 가능성에 관한 연습문제

3 3채색 가능 여부의 판정 결과를 통해 알 수 있는 것

제12장 불변성의 증명

1 간이 고리수의 불변성 증명

- 평면의 동위 변형 / 라이데마이스터 변형 I / 라이데마이스터 변형Ⅱ / 라이데마이스터 변형Ⅲ

2 3채색 가능성의 불변성 증명

- 평면의 동위 변형 / 라이데마이스터 변형 I / 라이데마이스터 변형Ⅱ / 라이데마이스터 변형Ⅲ

제13장 고리를 풀자

1 교차 교환과 매듭의 풀림수(unknotting number)

2 고리 풀림수 - 교차 교환과 간이 고리수

부록 / 매듭과 고리의 표

찾아보기

■ 지은이

신조 레이코(新庄 玲子)

2006년 와세다대학교 대학원 교육학연구과 박사 과정을 수료하고 박사 학위를 취득했다. 와세다대학교 교육학부 조교 등을 거쳐, 2013년 고쿠시칸대학 이공학부 강사로 재직, 2017년부터 같은 대학의 부교수로 재직 중이다.

수학을 활용한 디자인으로 텍스타일과 잡화 디자인 분야에서 수상 경력이 있으며, 2023년에는 『수학 세미나』(일본평론사) 표지 일러스트를 담당하는 등 일러스트레이터로도 활동 중이다. 이 책의 일러스트 역시 저자가 직접 담당하였다.

다나카 코코로(田中 心)

2006년 도쿄대학교 대학원 수리과학연구과 박사 과정을 수료하고 박사 학위를 취득했다. 일본학술진흥회 특별연구원, 가쿠슈인대학 이학부 조교 및 조교수, 2008년부터 도쿄가쿠게이대학 교육학부 강사, 이후 부교수를 거쳐 2024년부터 교수로 재직 중이다.

2009년 일본수학회 다케베 가타히로상 장려상을 수상했으며, 수학 프로그램 감수와 워크숍 참여 등 외부 활동도 하고 있다.

■ 옮긴이

권기태

서울대학교 계산통계학과를 졸업하고, 동 대학원에서 전산학 전공으로 이학 석사 및 이학 박사 학위를 취득했다. 현재 강릉원주대학교 컴퓨터공학과 교수로 재직 중이다.

주요 번역서로는 2021 세종도서 우수학술도서로 선정된 『데이터사이언스 교과서』를 비롯하여 『엑셀로 배우는 머신러닝 초(超)입문』,『엑셀로 배우는 순환 신경망 · 강화학습 초(超)입문』, 『엑셀로 배우는 딥러닝』, 『만화로 쉽게 배우는 우선 이것만! 통계학』, 『만화로 쉽게 배우는 수리 최적화』 등이 있다.